Атом водорода

В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна

Поскольку поле является центрально-симметричным, удобно воспользоваться сферической системой координат:

Подставив в выражение оператора

где —заряд ядра, —расстояние между ядром и электроном.

Уравнение Шредингераимет в этом случае вид

Можно показать, что уравнение имеет требуемые (т. ё. однозначные, конечные и непрерывные) решения в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

Случай Е > 0 соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е < 0 соответствует электрону, находящемуся в пределах атома. Сравнение (69.3) с (63,5) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения получаются логическим путем из основного предположения о том, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предположения.

Собственные функции уравнения (69.2) содержат три целочисленных параметра. Один из них совпадает с номером уровня энергии, два других принято обозначать буквами и .Эти числа называются квантовыми:

При данном п числа / и т могут принимать следую* щие значения:

т. е. всего п различных значений;

т. е. всего различных значений.

Таким образом, каждому (кроме £i) соответ-

ствует несколько волновых функцийотличающихся

значениями квантовых чисел и , Это означает, что

атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня. Кратность вырождения уровней водорода легко вычислить, исходя из возможных значений для / и т. Каждому из п значений квантового числа / соответствует значений квантового числа т. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному п, равно

Таким образом, каждый уровень энергии водородного         атома

имеет         вырождение

кратности п².

В табл. 3 приведены состояния, соответствующие первым трем энергетическим уровням.

Как мы выяснили, состояние электрона в водородном атоме зависит от трех квантовых чисел п, / и m, причем значение главного квантового числа п определяет энергию состояния. Естественно предположить, что и два других квантовых числа определяют какие-то физические величины. Действительно, в квантовой механике доказывается, что азимутальное квантовое число / определяет величину момента импульса электрона в атоме, а магнитное квантовое число т — величину проекции этого момента на заданное направление в пространстве. Под заданным направлением (мы будем обозначать его буквой г) понимают направление, выделенное физически,

Соотношения (69.4) и (69.5) показывают, что момент импульса электрона в атоме и проекция этого момента являются, как и энергия, квантованными величинами¹). Постоянную можно рассматривать как естественную единицу момента импульса.

Итак, состояния с различными значениями азимутального квантового числа / отличаются величиной момента импульса. В атомной физике применяются заимствованные из спектроскопии условные обозначения состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с , называют

s-электроном (соответствующее состояние — s-состояни-ем), с —-электроном, с —-электроном, с

—-электроном, затем идут,и т. д. уже по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением квантового числа /. Таким образом, электрон в состоянии с =3 и =1 обозначается символом и т. д.

Поскольку всегда меньше ,, возможны следующие состояния электрона:

путем создания, например магнитного или электрического поля.

Момент импульса М оказывается равным:

Проекция момента импульса на заданное направление равна:

И Т. Д.

Схему уровней энергии можно было бы изобразить так, как это было сделано в § 63 (см. рис. 189). Однако гораздо удобнее пользоваться схемой, показанной на рис. 198. На этой схеме отражено (правда, частично) вырождение уровней; кроме того, она имеет еще ряд существенных преимуществ, которые вскоре станут очевидными.

Мы знаем, что испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что возможны только такие переходы, при которых квантовое число / изменяется на единицу:

Условие, выраженное соотношением (69.6), называется правилом отбора. Существование правила (69.6) обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином¹)), равным примерно h (в дальнейшем мы уточним его значение). При испускании фотон уносит из атома этот момент, а при поглощении привносит, так что правило отбора (69.6) есть просто следствие закона сохранения момента импульса.

На рис. 198 показаны переходы, разрешенные правилом (69.6). Пользуясь условными обозначениями состояний электрона, переходы, приводящие к возникновению серии Лаймана, можно записать в виде:

серии Бальмера соответствуют переходы:

и т. д.

Состояние Is является основным состоянием атома водорода. В этом состоянии атом обладает минимальной энергией. Чтобы перевести атом из основного состояния в возбужденное (т. е. в состояние с большей энергией), ему необходимо сообщить энергию. Это может быть осуществлено за счет теплового соударения атомов⁴ (по этой причине нагретые тела светятся — атомы излучают, возвращаясь из возбужденного в основное состояние), или

Рис. 198.

за счет столкновения атома с достаточно быстрым электроном (см. § 62), или, наконец, за счет поглощения атомом фотона.

Фотон при поглощении его атомом исчезает, передавая атому всю свою энергию. Атом не может поглотить только часть фотона, ибо фотон, как и электрон, как и

другие элементарные частицы, является неделимым. Поэтому атом может поглощать только те фотоны, энергия которых в точности¹) соответствует разности энергий двух его уровней. Поскольку поглощающий атом обычно находится в основном состоянии, спектр поглощения водородного атома должен состоять из линий, соответствующих переходам

Этот результат полностью согласуется с опытом.

Собственные функции s-состояний (т. е. состояний с ) оказываются не зависящими от углов. Это

можно записать следующим образом:

Вероятность найти электрон в тонком шаровом слое радиуса г и толщины dr согласно (66.1) равна

Выражение представляет собой плотность

вероятности нахождения электрона на расстоянии от ядра.

Волновые функции для , отличных от нуля, распадаются на два множителя, один из которых зависит только от , а другой — только от углов . Таким образом, и в этом случае можно ввести понятие плотности вероятности нахождения электрона на расстоянии от ядра, подразумевая под R(r) ту часть функции , которая зависит только от .

На рис. 199 приведены плотности вероятности для случаев:

За единицу масштаба для оси принят радиус первой боровской орбиты (см. (63.4)]. На графиках отмечены радиусы соответствующих боровских орбит. Как видно из рисунка, эти радиусы совпадают с наиболее вероятными расстояниями электрона От ядра.