Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме.
Прохождение частиц через потенциальный барьер

Частица в потенциальной яме. Чтобы пояснить сказанное в предыдущем параграфе, рассмотрим конкретный пример, достаточно простой для того, чтобы можно было решить уравнение Шредингера без большого труда.

Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси х. Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками: х = 0 и х — I. Потенциальная энергия U имеет в этом случае следующий вид (рис. 195,а): она равна нулю при О i^x^Cl и обращается в бесконечность при х < 0 и х > /.

Поскольку функция if» зависит только от одной координаты х, уравнение (65.3) будет иметь вид:

За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а следовательно и функция -ф, за пределами ямы равна нулю. Далее, из условия непрерывности следует, что ф должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. что

Выражения (68.2) и определяют те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (68.1), имеющие физический смысл.

В области, где ф не равна тождественно нулю, уравнение (68.1) принимает следующий вид (U в этой области равна нулю):

Введя обозначение получим уравнение,хорошо известное из теории колебаний:

Решения такого уравнения, как известно¹), имеютвид;

Условиям (68.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных (о и а. Прежде всего, из условия яЬ(0) =0 получаем:

откуда следует, что а должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие:

что возможно лишь в случае, если

(п = 0 отпадает, поскольку при этом получается *ф =0—■ частица нигде не находится).

Из (68.4) вытекает, что решения уравнения (68.3) будут иметь физический смысл не при всех значениях энергии £, а лишь при значениях, удовлетворяющих соотношению:

Таким образом, не прибегая ни к каким дополнительным предположениям (как это пришлось сделать Бору), мы получили квантование энергии частицы и нашли собственные значения этой энергии:

Схема энергетических уровней изображена на рис. 195,6, Произведем оценку расстояний между соседними уровнями для различных значений массы частицы т и ширины ямы /. Разность энергий двух соседних уровней равна

Если взять т гюрядка массы молекулы (~10~²³ г), а/ порядка 10 см (молекулы газа в сосуде), получается

Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии, так что хотя квантование энергии в принципе

будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет.

Аналогичный результат получается, если взять т порядка массы электрона (~10~²⁷ г) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле). В этом случае

324

Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров (~10^-8 см). В этом случае

Очевидно, что в этом случае дискретность энергетических уровней будет проявляться весьма заметным образом.

Собственными функциями, как следует из условия (68.4), будут

Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (67.1), которое в данном случае запишется следующим образом:

На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обращается в нуль. Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение s\n²(nnx/l) (равное, как известно, 1/2) на длину промежутка /.

В результате получится: а²(1/2)/— 1, откуда а — 1/2//. Таким образом, собственные функции имеют вид:

Графики функций (68.6) изображены на рис. 196, m На рис. 196,6 дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная 1|уф*. Как следует из графиков, частица в состоянии*,

например, с п = 2 не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы. Такое поведение частицы,

очевидно, не совместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны.

Прохождение через барьер. Пусть частица, движущаяся слева направо, падает на потенциальный барьер

высоты U₀ и ширины / (рис. 197,а). По классическим представлениям поведение частицы' имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера , частица беспрепятственно проходит «над» барьером (на участке 0^*^/ лишь уменьшается

325

скорость частицы, но затем при х >/ снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше U₀ (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.

Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, даже при £ > Uq имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е < Uq имеется отличная от нуля вероятность того, что частица проникнет «сквозь» барьер и окажется в области, где х > /. Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера.

Рассмотрим случай Е < U_Q. В этом случае уравнение Шредингера имеет вид:

(68.7)

(68.8)

для областей I и III и

для области //, причем Е— U₀ < 0.

Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид:

причем аир определяются из выражений:

Заметим, что решение вида e^iax соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида e~^iax — волне, распространяющейся в противоположном направлении. Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид cos (tot — kx)_t а волна, распространяющаяся в на-

(68.9)

а также

(68.10)

(68.11)

правлении убывания г, — вид cos (w/ + kx) [см. т. I, формулы (78.2) и .(78.5)]. В § 65 мы установили, что волновая функция свободной частицы, движущейся в направлении оси х, имеет вид (65.5). Если отбросить в этой формуле временной множитель, то для ф получится значение e^lW^ft>^x. Для частицы, движущейся в противоположном направлении, нужно, очевидно, взять е-*№^к)*.

В области /// имеется только волна, лрошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент В₃ следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция ф. Для того чтобы i|) была непрерывна во всей области изменений х от —оо до'+оо, должны выполняться условия; ^i(O) =г|>₂(0) и л|>₂(0 =грз(/). Для того чтобы ф была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: H>i(0) = i[)£(0) и ^(/^^(/J. Из этих условий вытекают соотношения:

Разделим все уравнения на А_х и введем обозначения:

Тогда уравнения (68.9) примут вид:

Отношение каадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны

определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения.

Отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны

определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности).

Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины D. Правда, найдя D, легко найти R, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением: /? + £> = 1.

Умножим первое из уравнений (68.11) на I и сложим с третьим. В результате получим:

(68.12)

(68.13)

(68.14)

Теперь умножим второе из уравнений (68.11) на i и вычтем его из четвертого. Получим:

Решая совместно уравнения (68.13) и (68.14), найдем, что

Наконец, подставив найденные нами значения а₂ и Ь₂ во второе из уравнений (68.11), получим выражение для аз*.

Величина

обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаменателе выражения для а$ слагаемым, содержащим мно-

житель, можно пренебречь по сравнению со слагаемым, содержащим множитель (комплексные числа п + i и п — i имеют одинаковый модуль). Итак, можно положить

Согласно (68.12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный

барьер. Учтя, что, получим:

где

Как следует из полученного нами выражения, вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера / и от его превышения над Е, т. е. от U₀ — Е. Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения D равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза D станет равным 0,01² = 0,0001, т.е. уменьшается в 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины U₀ — Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы т.

В случае потенциального барьера произвольной формы (см., например, рис. 197,6) формула (68.15) должна быть заменена более общей формулой:

[см. формулу (68.8)1.

Выражение имеет величину порядки

единицы¹). Поэтому можно считать, что

где

При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см. заштрихованную область на рис. 197,6), в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют туннельным э ф ф е к т о м.

С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле Е < U). Однако туннель — явление специфически квантовое, не имеющее аналога в классической физике. В квантовое же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией Г, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс р. Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию U, означал бы, что частица находится в точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и V. Таким образом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и U. Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным.