Кваитовомеханическое описание движения микрочастиц

Соотношение между волновой функцией ^х¥ и описываемой ею частицей аналогично соотношению между световой волной и фотоном. В § 57 мы установили, что квадрат амплитуды световой волны определяет вероятность попадания фотона в соответствующую точку пространства. Точно так же квадрат модуля ¹) волновой функции для какой-либо точки пространства, будучи умножен на включающий в себя эту точку элемент объема dV, определяет вероятность dP того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:

314

(66.1)

Таким образом, физический смысл функции ^х¥ заключается в том, что квадрат ее модуля дает плотность вероятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в соответствующем месте пространства.

Для стационарных состояний волновая функция имеет вид (65.2) и

так что в этом случае плотность вероятности равна гр*ф* и, следовательно, от времени не зависит.

Из сказанного вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предсказать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.

На первый взгляд может показаться, что квантовая механика дает значительно менее точное и исчерпывающее описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точно» местоположение и скорость частицы в каждый момент времени. Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение микрочастиц. Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теряют смысл. Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствами, что становится совершенно очевидным, если проанализировать существо опытов по дифракции.

Рассмотрим дифракцию от двух близко расположенных отверстий (рис. 192). Вследствие интерференции воли, распространяющихся от отверстий, дифракционная картина не будет тождественна наложению дифракционных картин, получающихся от каждого из отверстий

в отдельности (картина, получающаяся в случае рис. 192, а, не совпадает с наложением картин, получающихся в случаях бив). Следовательно, вероятность попадания электрона (или какой-либо другой микрочастицы) в различные точки экрана при прохождении пучка через оба отверстия также не будет равна сумме вероятностей для случаев прохождения пучка через каждое из отверстий в отдельности. Отсюда неизбежно следует вывод, что на характер движения каждого электрона оказывают влияние оба отверстия. Такой вывод не совместим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и, двигался по траектории, он проходил бы через определенное отверстие — первое или второе. Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия — и первое, и второе.

Не следует, однако, представлять дело так, что какая-то часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть — через второе. Электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для пего величинами. Таким образом, электрон, протон, атомное ядро представляют собой частицы с весьма своеобразными свойствами. Обычный шарик, даже и очень малых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьшением размеров начинают проявляться качественно новые свойства, не обнаруживающиеся у макрочастиц.

В ряде случаев утверждение об отсутствии траекторий у микрочастиц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по которому движется микрочастица, обнаруживается в виде узких следов (треков), образованных капельками тумана; движение электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по классическим законам, и т. п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятия траектории и определенного местоположения оказываются применимыми к микрочастицам, но только с некоторой степенью точности.

Положение оказывается опять-таки, точно таким, как и в оптике. Если размеры преград или отверстий велики

317

по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекторий). При определенных условиях понятия положения в пространстве и траектории оказываются приближенно применимыми к движению микрочастиц, подобно тому как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света.

Степень точности, с какой к частице может быть применено представление об определенном положении ее в пространстве, дается соотношением и е о п р е д е-ленностей, установленным Гайзенбергом. Согласно этому соотношению частица не может иметь одновременно вполне точные значения, например, координаты х и соответствующей этой координате        составляющей импульса р_х, причем неопределенности в значениях этих величин удовлетворяют условию:

Такая запись означает, что произведение неопределенностей координаты и соответствующего ей импульса не может быть меньше величины порядка Ь. Чем точнее определена одна из величин, х или р_х, тем больше становится неопределенность другой. Возможны состояния частицы, при которых одна из величин имеет вполне точное значение, но тогда вторая величина будет совершенно неопределенной.

Соотношения, аналогичные (66.2), справедливы для любой координаты и соответствующего ей импульса, а также для ряда других величин, например, для взятых попарно проекций момента импульса па координатные оси.

Чтобы пояснить соотношение неопределенностей, рассмотрим следующий пример. Для определения положе? ния свободно летящей микрочастицы поставим на ее пути щель шириной Д#, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы (рис. 193). До

(66.2)

прохождения частицы через щель ее составляющая импульса р_х имеет точное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к импульсу), так что Лр_х — О, зато координата х частицы является совершенно неопределенной, В момент прохождения частицы через щель положение меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность Ах, но это достигается ценой утраты определенности значения р_х. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2ср, где Ф — угол, соответствующий первому дифракционному минимуму (максимумами высших Рис. 194.                        порядков можно пре-

небречь, поскольку их Интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность:

Следовательно,

откуда с учетом (64.1) получается соотношение

318

В § 24 мы нашли, что краю центрального дифракционного максимума (первому минимуму), получающегося от щели шириной &х> соответствует угол ф, для которого

согласующееся с (66.2).

Оценим неопределенность кординаты и импульса для электрона в электроннолучевой трубке. Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус г порядка 10~³ см, длина трубки / порядка 10 см (рис. 194). Тогда &pxlpx ~ Ю^-4. Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением V соотношением:

откуда р = Y2meU . При напряжении U ~ J0⁴ в энергия электрона равна 10⁴ эв = 1,6-10~⁸ эрг. Оценим вели-чину импульса:

Следовательно, &р_х «* 5 • 1(Н⁸ • 10~⁴ = 5 • К)-²². И, наконец, согласно соотношению (66.2):

Полученный результат свидетельствует о том, что движение электрона в рассматриваемом случае будет практически неотличимо от движения по траектории.

Соотношение неопределенностей отражает двойственную корпускулярно-волновую природу микрочастиц. Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме.

Если бы электрон упал на точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Кг и неопределенность импульса Др были связаны условием (66.2). Формально энергия была бы минимальна при г = 0 и р ~ 0. Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положитьиПодставив эти значения в (66.2), получим соотношение

(для определенности вместо знака !>, мы взяли знак =). Энергия электрона в атоме водорода равна

Заменив согласно (66.3) р через fi/r, получим, что

(66.3)

(66.4)

Найденное значение также совпадает с энергией первого воровского уровня для Z = 1 [см. формулу (63.5)].

То обстоятельство, что мы получили точные значения г и Е, является, конечно, просто удачей. Приведенный нами расчет может претендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величины /' и Е.