Свойства волновой функции. Квантование

Значение уравнения Шредпнгера далеко не исчерпывается тем, что с его помощью можно найти вероятность нахождения частицы в различных точках пространства. Из этого уравнения и из условий, налагаемых па волновую функцию, непосредственно вытекают правила квантования энергии.

Упомянутые условия состоят в том, что волновая функция \|; в соответствии с ее физическим смыслом должна быть однозначной, конечной и непрерывной во всей области изменения переменных х, у и г, В уравнение Шредингера входит в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения такого вида, как уравнение Шредингера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т. е. однозначные, конечные и непрерывные), не при любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях.

320

Полученное нами значение совпадает с радиусом первой воровской орбиты водородного атома [см. формулу (63.4)].

Энергию основного состояния можно найти, подставив значение (66.5) в формулу (66.4):

Найдем значение г, при котором Е минимальна. Продифференцировав функцию (66.4) по г и приравняв производную нулю, придем к уравнению:

откуда следует, что

Эти избранные значения называются собственными значениями параметра, а соответствующие им решения уравнения — собственными функциями задачи.

Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу. Поэтому в дальнейшем мы будем ограничиваться обсуждением результатов, получающихся при решении уравнения Шредингера для различных случаев движения, почти не касаясь чисто математической стороны соответствующей задачи.

Отметим, что волновые функции должны быть всегда «нормированы» таким образом, чтобы

(67.1)

Интегрирование производится по всей области изменения переменных х, у и г. Интеграл (67.1) представляет собой сумму вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объема, т. е. вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства. Эта вероятность есть вероятность достоверного события и, следовательно, должна быть равна единице.